(2012•淮北二模)在△ABC中a,b,c分別為角A,B,C所對的邊的邊長.
(1)試敘述正弦或余弦定理并證明之;
(2)設a+b+c=1,求證:a2+b2+c2
13
分析:(1)寫出正弦定理,作出三角形ABC的外接圓,設外接圓半徑為R,利用圓周角定理及銳角三角函數(shù)定義即可證明;
(2)由a,b及c都大于0,利用基本不等式得到a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三等式左邊兩邊相加后得到一個不等式,不等式左右兩邊都加上a2+b2+c2,右邊利用完全平方公式化簡,變形后即可得證.
解答:解:(1)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C,
正弦定理為:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,
證明:作出△ABC的外接圓O,連接BO并延長,與圓O交于D點,連接CD,

可得∠A=∠D,∠BCD=90°,設圓的半徑為R,BC=a,AB=c,AC=b,
在Rt△BCD中,設BD=2R,
∴sinD=sinA=
BC
BD
=
a
2R
,即
a
sinA
=2R,
同理
b
sinB
=2R,
c
sinC
=2R,
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R;
(2)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
∴2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ca,又a+b+c=1,
∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1,
則a2+b2+c2
1
3
點評:此題考查了正弦定理及證明,以及基本不等式的運用,熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵.
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3
m
+
1
n
的最小值為
4
4

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π
6
)|對一切x∈R恒成立,則
①f(
11π
12
)=0;
②|f(
12
)|<|f(
π
5
)|;
③f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);
④f(x)的單調遞增區(qū)間是[kπ+
π
6
,kπ+
3
](k∈Z);
⑤經(jīng)過點(a,b)的所有直線均與函數(shù)f(x)的圖象相交.
以上結論正確的是
①③⑤
①③⑤
(寫出所有正確結論的編號).

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