Question

（2012•淮北二模）已知圓C：x²+y²=1，過(guò)點(diǎn)P（0，2）作圓C的切線，交x軸正半軸于點(diǎn)Q、若M（m，n）為線段PQ上的動(dòng)點(diǎn)，則

3

m

+

1

n

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接CN，由PQ與圓C相切，利用切線的性質(zhì)得到CN垂直于PQ，且CN等于圓C半徑，可得出CN為CP的一半，得到∠CPQ為30°，進(jìn)而求出直線PQ的斜率，確定出直線PQ的解析式，由M為直線PQ上的點(diǎn)，將M（m，n）代入直線方程，用m表示出n，將所求式子利用基本不等式變形后，得到取等號(hào)時(shí)m與n的關(guān)系，將表示出的n代入求出m的值，進(jìn)而得到n的值，即可確定出所求式子的最小值．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
連接CN，
∵PQ與圓C相切，
∴CN⊥PQ，且CN=1，
又P（0，2），即CP=2，
∴在Rt△PCN中，CN=

1

2

PC，
∴∠CPN=30°，
∴直線PQ的傾斜角為120°，即斜率k=-

3

，
故直線PQ解析式為y=-

3

x+2，
∴M（m，-

3

m+2），
又

3

m

+

1

n

≥2

3 mn

，當(dāng)且僅當(dāng)

3

m

=

1

n

，即m=

3

n時(shí)取等號(hào)，
∴m=

3

（-

3

m+2）=-3m+2

3

，即m=

3

2

，n=

1

2

，
則

3

m

+

1

n

的最小值為2

3 3 2 × 1 2

=4．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，涉及的知識(shí)有：切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，直線傾斜角與斜率的關(guān)系，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，且切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．