Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；
（3）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性質(zhì)定理即可得證；
（2）要證平面BDE⊥平面PAC，可證BD⊥平面PAC，由（1）運(yùn)用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；
（3）由線面平行的性質(zhì)定理可得PA∥DE，運(yùn)用中位線定理，可得DE的長(zhǎng)，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面積，運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD?平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）證明：由AB=BC，D為線段AC的中點(diǎn)，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面ABC∩平面ABC=AC，
BD?平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD?平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA?平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D為AC的中點(diǎn)，
可得E為PC的中點(diǎn)，且DE=$\frac{1}{2}$PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×2=1，
則三棱錐E-BCD的體積為$\frac{1}{3}$DE•S_△BDC=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間的線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，主要是平行和垂直的關(guān)系，注意運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，同時(shí)考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．