Question

8．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm³）的最大值為4$\sqrt{15}$cm³．

Answer 1

分析 由題，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，設OG=x，則BC=2$\sqrt{3}$x，DG=5-x，三棱錐的高h=$\sqrt{25-10x}$，求出S_△ABC=3$\sqrt{3}{x}^{2}$，V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×h$=$\sqrt{3}•\sqrt{25{x}^{4}-10{x}^{5}}$，令f（x）=25x⁴-10x⁵，x∈（0，$\frac{5}{2}$），f′（x）=100x³-50x⁴，f（x）≤f（2）=80，由此能求出體積最大值．

解答 解：由題意，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，
即OG的長度與BC的長度成正比，
設OG=x，則BC=2$\sqrt{3}$x，DG=5-x，
三棱錐的高h=$\sqrt{D{G}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{25-10x+{x}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{25-10x}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×（2\sqrt{3}x）^{2}$=3$\sqrt{3}{x}^{2}$，
則V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×h$=$\sqrt{3}{x}^{2}×\sqrt{25-10x}$=$\sqrt{3}•\sqrt{25{x}^{4}-10{x}^{5}}$，
令f（x）=25x⁴-10x⁵，x∈（0，$\frac{5}{2}$），f′（x）=100x³-50x⁴，
令f′（x）≥0，即x⁴-2x³≤0，解得x≤2，
則f（x）≤f（2）=80，
∴V≤$\sqrt{3}×\sqrt{80}$=4$\sqrt{15}$cm³，∴體積最大值為4$\sqrt{15}$cm³．
故答案為：4$\sqrt{15}$cm³．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系、函數(shù)性質、導數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．