Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{2}{x}$-3lnx，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在點（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））處的切線與直線x+y-2=0垂直，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{3}{2}$，3]上的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出a的值，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為ax²-3x+2≤0在[1，+∞）上恒成立，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=a+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}$
由題意可知${f^'}（\frac{2}{3}）=1解得a=1$，∴$f（x）=x-\frac{2}{x}-3lnx（x∈[\frac{3}{2}，3]）$，∴${f^'}（x）=\frac{（x-1）（x-2）}{x^2}$
由f′（x）=0，得x=2．于是可得下表：

x	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，2）$	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	$\frac{1}{6}-3ln\frac{3}{2}$	↘	1-3ln2	↗	$\frac{7}{3}-3ln3$

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{3}{2}，3]$上的值域為[1-3ln2，$\frac{1}{6}-3ln\frac{3}{2}$]…（6分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=a+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{a{x^2}-3x+2}}{x^2}$由題意得ax²-3x+2≤0在[1，+∞）上恒成立
 ①a=0時，-3x+2≤0，則$x≥\frac{2}{3}$顯然成立；
②a＜0時，由a•1²-3×1+2≤0得a≤1，所以此時a＜0；
③a＞0時，顯然不成立．
綜上得實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．