Question

19．已知圓O：x²+y²=4，點F（$\sqrt{3}$，0），以線段MF為直徑的圓內(nèi)切于圓O，記點M的軌跡為C
（1）求曲線C的方程；
（2）若過F的直線l與曲線C交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在點N，使得$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$為定值？若存在，求出點N坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設FM的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，通過|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|F′M|+|MF|=4．說明點M的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．然后求解曲線C的方程；
（2）當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系得到A，B的橫坐標的和與積，代入$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$，由$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$為定值求得m值，驗證斜率不存在時適合得答案．

解答 解：（1）設FM的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，
則|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F關于y軸的對稱點F′，連F′M，
故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．
點M的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．
其中，a=2，c=，b=1，則曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}x+12{k}^{2}-4=0$．
則△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
若存在定點N（m，0）滿足條件，
則有$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=x₁x₂+${m}^{2}-m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}（{x}_{1}-\sqrt{3}）（{x}_{2}-\sqrt{3}）$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-（m+\sqrt{3}{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{k}^{2}+{m}^{2}$
=$（1+{k}^{2}）\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-（m+\sqrt{3}{k}^{2}）\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+3{k}^{2}+{m}^{2}$=$\frac{（4{m}^{2}-8\sqrt{3}m+11）{k}^{2}+{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
如果要上式為定值，則必須有$\frac{4{m}^{2}-8\sqrt{3}m+11}{{m}^{2}-4}=4$，解得m=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
此時$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=${m}^{2}-4=-\frac{13}{64}$．
驗證當直線l斜率不存在時，也符合．
故存在點N（$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，0）滿足$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運，是中檔題．