Question

以某些整數(shù)為元素的集合P具有以下性質(zhì)：
（1）P中元素有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)；
（2）P中元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；
（3）-1∉P；
（4）若x，y∈P，則x+y∈P．
試判斷數(shù)0，2與集合P的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專(zhuān)題：集合,推理和證明

分析：判斷0∈P，可以根據(jù)題設(shè)直接推導(dǎo)，利用（4），有x∈P⇒kx∈P，分別用-y與y代替k，由0=xy+（-y）x∈P．
判斷2∉P．需要利用反證法，將P中負(fù)數(shù)分奇偶分別討論即可．

解答： 解：由（4）可知，x∈P，則kx∈P（k是正整數(shù)）．有（1）可設(shè)，x，y∈P，且x＞0，y＜0
則xy，（-y）x∈P，因而0=xy+（-y）x∈P．
假設(shè)2∈P，則2k∈P．由上面及（4）知，0，2，4，6，8，…均在P中，故2k-2∈P（k是正整數(shù)）
不妨令P中負(fù)數(shù)為奇數(shù)-2k+1（k為正整數(shù)），由（4），（2k-2）+（-2k+1）=-1∈P，矛盾．
故若2∈P，則P中沒(méi)有負(fù)奇數(shù)．若P中負(fù)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為-2k（k為正整數(shù)），則由（4）及2∈P，
得-2，-4，-6…均在P中，即-2m-2∈P（m為非負(fù)整數(shù)），則P中正奇數(shù)為2m+1，有（4）得，
（-2m-2）+（2m+1）=-1∈P，矛盾．
綜上，0∈P，2∉P．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的元素與集合之間的屬于關(guān)系，需要反復(fù)推理運(yùn)算，屬于中檔題．