Question

8．已知動點P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點C（$\frac{1}{2}$，0）的距離．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若在y軸上截距為2的直線l與點P的軌跡交于M、N兩點，O為坐標原點，且以MN為直徑的圓過原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得動點P的軌跡為拋物線，且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得kx²-2y+4=0，由此利用根的判別式、韋達定理能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵動點P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點C（$\frac{1}{2}$，0）的距離，
∴動點P的軌跡為拋物線，且$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，解得p=1，
∴動點P的軌跡方程為y²=2x．
（2）設直線l的方程為y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去x，得kx²-2y+4=0，
∵直線l與拋物線相交，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=4-16k＞0}\end{array}\right.$，解得k＜0，且k≠0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y}_{1}{y}_{2}=\frac{4}{k}$，
∵x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}=0$，解得k=-1符合題意，
∴直線l的方程為y=-x+2．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線的方程求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、拋物線定義的合理運用．