Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x=2．P為橢圓C上一點，直線PF₁交橢圓C于另一點Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P的坐標(biāo)為（0，b），求過P，Q，F(xiàn)₂三點的圓的方程；
（3）若

F1P

=λ

QF1

，且λ∈[

1

2

，2]，求

OP

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x=2，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）直線PF₁的方程為x-y+1=0，代入橢圓方程，求出Q的坐標(biāo)，利用圓的一般方程，建立方程組，即可求過P，Q，F(xiàn)₂三點的圓的方程；
（3）由

F1P

=λ

QF1

，可得P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合λ∈[

1

2

，2]，利用基本不等式，即可求

OP

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（1）由題意得，

2c=2 a2 c =2

，解得：c=1，a²=2，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）∵P（0，1），F(xiàn)₁（-1，0），
∴直線PF₁的方程為x-y+1=0．
由

x-y+1=0 x2 2 +y2=1

，解得

x=0 y=1

或

x=- 4 3 y=- 1 3

，
∴點Q的坐標(biāo)為(-

4

3

，-

1

3

)．
設(shè)過P，Q，F(xiàn)₂三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

1+E+F=0 1+D+F=0 17 9 - 4 3 D- 1 3 E+F=0

，解得

D= 1 3 E= 1 3 F=- 4 3

．
∴所求圓的方程為x2+y2+

1

3

x+

1

3

y-

4

3

=0；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

F1P

=(x1+1，y1)，

QF1

=(-1-x2，-y2)，
∵

F1P

=λ

QF1

，
∴

x1+1=λ(-1-x2) y1=-λy2

，即

x1=-1-λ-λx2 y1=-λy2

，
∴

(-1-λ-λx2)2 2 +λ2y22=1 x22 2 +y22=1

，解得：x2=

1-3λ

2λ

．
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy22
=-

λ

2

x22-(1+λ)x2-λ=-

λ

2

(

1-3λ

2λ

)2-(1+λ)•

1-3λ

2λ

-λ
=

7

4

-

5

8

(λ+

1

λ

)．
∵λ∈[

1

2

，2]，
∴λ+

1

λ

≥2

λ• 1 λ

=2，當(dāng)且僅當(dāng)λ=

1

λ

，即λ=1時取等號．
∴

OP

•

OQ

≤

1

2

．
即

OP

•

OQ

的最大值為

1

2

．

點評：本題考查橢圓、圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識，考查基本不等式的運用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．