Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，?n∈N^*，a_n+1=

2an

2+an

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：?n∈N^*，

n

i=1

ai2＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把an2放大得不等式an2＜2(

1

n

-

1

n+2

)，作和后可證得答案．

解答： （1）解：由a_n+1=

2an

2+an

，得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

．
∴數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，
則an=

2

n+1

；
（2）證明：∵an2=

4

(n+1)2

＜

4

n(n+2)

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴

n

i=1

ai2=a12+a22+…+an2＜2(1-

1

3

)+2(

1

2

-

1

4

)+2(

1

3

-

1

5

)+…+2(

1

n

-

1

n+2

)
=2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，解答的關(guān)鍵是放縮，是中檔題．