Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，前3項(xiàng)和S₃=15．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ） 求數(shù)列{2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：3a₂=15，求得a₂=5，由d=a₃-a₂=2，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）由${2}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹，可知數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}是以2³，為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，T_n=2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n，．

解答 解：（Ⅰ）∵設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：S₃=3a₂，則3a₂=15，即a₂=5，
由d=a₃-a₂=2，
∴由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+1，…（3分）
a₁=3，
∴前n項(xiàng)和S_n，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=n²+2n，
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=n²+2n；                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：${2}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ⁺¹，可知數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}是以2³，為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹，
=$\frac{{2}^{3}-{2}^{2n+1}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n+3}-8}{3}$=$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$，
數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$． …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．