Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，側(cè)面，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)為，連接，，，可證明四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到線(xiàn)面平行；（2）建立坐標(biāo)系得到直線(xiàn)的方向向量和面的法向量，由向量的夾角公式得到要求的線(xiàn)面角.

解析：

（1）取中點(diǎn)為，連接，，，

由，，，，

得，且，

所以四邊形為平行四邊形.

所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）由已知.

又平面，

所以，，兩兩垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則經(jīng)計(jì)算得，，，，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，，

.

設(shè)平面 一個(gè)法向量為，

由

令，得.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則.