Question

3．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$且a_n＞0．
（1）求a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，求得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，求得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)公式，即可{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$，
∵$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)列遞推式求等列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．