Question

已知集合A={x|x²-4x-5＞0}，B={x|ax²+bx+c≤0}，若A∩B=∅，A∪B=R，則

c2

a

+

a

b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,交集及其運算

專題：集合

分析：先根據A∩B=∅和A∪B=R可知A的端點就是B的端點值，因此可求得a，b，c的關系式，再用a把b，c表示出來，再進一步研究結論的最小值．

解答： 解：A={x|x²-4x-5＞0}={x|x＜-1或x＞5}，又因為A∩B=∅，A∪B=R，結合一元二次不等式的解法可知
x=-1，5是方程ax²+bx+c=0的根，且a＞0，由韋達定理得

4=- b a -5= c a

，所以b=-4a，c=-5a，
代入

c2

a

+

a

b2

=25a+

1

16a

≥2

25a× 1 16a

=

5

2

，當且僅當25a=

1

16a

即a=

1

20

時取等號．
故答案為：

5

2

．

點評：A的集合可求出來，且易知A的端點就是B的解，而且a還必須大于0，那么b和c可用a表示出來，最后用基本不等式求解即可．