Question

如圖，在四面體ABCD中，已知DA⊥面ABC，BC⊥面ABD，BC=BD=2，四面體的三個(gè)面DAB、DBC、DCA面積的平方和是8，則∠ADB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先證明DA⊥AB，DA⊥AC，BC⊥BD，BC⊥AB，再設(shè)AD=a，AB=b，則a²+b²=4，利用三個(gè)面DAB、DBC、DCA面積的平方和是8，BC=BD=2，建立方程，求出a，b，即可求出∠ADB．

解答： 解：∵DA⊥面ABC，
∴DA⊥AB，DA⊥AC，
∵BC⊥面ABD，
∴BC⊥BD，BC⊥AB，
設(shè)AD=a，AB=b，則a²+b²=4，
∵三個(gè)面DAB、DBC、DCA面積的平方和是8，BC=BD=2，
∴（

1

2

ab）²+（

1

2

×2×2）²+（

1

2

×a×

b2+4

）²=8，
∴a=b=

2

，
∴∠ADB=45°，
故答案為：45°．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．