Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB是正三角形．

（1）求證：AB⊥PC；

（2）求二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)．

【解析】

（1）要證線線垂直，先證線面垂直，由于是正三角形，取中點，則有，從而只要再證即可證；

（2）關鍵是作二面角的平面角，由（1）知平面平面，因此只要作作PO⊥CE，PH⊥CD，連結OH，就可得∠PHO為二面角P﹣CD﹣B的平面角，接著就是計算出這個角即可．

（1）證明：取AB中點E，連結PE，CE，

易證△ABC為正三角形，E為AB中點，∴CE⊥AB，

∵△ABP為正三角形，E為AB中點，∴PE⊥AB，

∴AB⊥平面PCE，

∴AB⊥PC．

（2）解：過P點作PO⊥CE，PH⊥CD，連結OH，

∵AB⊥平面PCE，∴平面ABCD⊥平面PCE，

∵PO⊥CE，∴PO⊥平面ABCD，

∵PH⊥CD，∴OH⊥CD，

∴∠PHO為二面角P﹣CD﹣B的平面角，

四邊形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，

∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB是正三角形．

AB＝2，PA＝PB＝2，PE＝CE，∠PCE＝30°，

所以PO，OC，∠ECD＝60°，OH，

三角形POH是直角三角形，∠POH＝90°，

∴．

∴二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值：．