Question

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE＝1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．

（Ⅰ）若F是線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC;

（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的平面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）此題關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，需要找三條兩兩垂直的直線(xiàn)，注意到△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可考慮取AB的中點(diǎn)O，則，取BD的中點(diǎn)為G，則，從而得到三條兩兩垂直的直線(xiàn)，這樣就可以建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)題中條件，求出個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，要證明面，只需證平行平面的一個(gè)法向量即可，此題也可以用傳統(tǒng)方法來(lái)解；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值，只需找出平面的一個(gè)法向量，利用法向量來(lái)求即可，值得注意的是，需要判斷二面角是鈍角還是銳角，否則求出的值不對(duì).

試題解析：（Ⅰ）證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC,OD，則，即是與平面所成角，，取BD的中點(diǎn)為G，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，取BC的中點(diǎn)為M，則面

，所以，所以面；

 

（Ⅱ）解：由上面知： ，又取平面DEC的一個(gè)法向量，又，設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量,由,由此得平面BCE的一個(gè)法向量   則，所以二面角的平面角的余弦值為．

考點(diǎn)：本小題考查線(xiàn)面垂直的判定以及二面角的求法，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力以及空間想象能力，