Question

16．己知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x∈[-3，-1]時，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=f（2）=3設(shè)出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)f（x）的最小值為1，列出方程求解即可．
（2）當(dāng)x∈[-3，-1]時，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，得到不等式，分離變量，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=a（x-0）（x-2）+3，
則f（x）=ax²-2ax+3，二次函數(shù)f（x）的最小值為1，
∴$\frac{12a-4{a}^{2}}{4a}=3-a$=1，∴a=2，∴f（x）=2x²-4x+3．----------（6分）
（2）x∈[-3，-1]時，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，
可得2x²-4x+3＞2x+2m+1恒成立，
即m＜x²-3x+1在x∈[-3，-1]時恒成立．
所以m＜（x²-3x+1）_min=f（-1）=5
即m＜5．---------------------------（12分）

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，解析式的求法，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．