Question

【題目】如圖所示的立體圖形中，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證，只需證平面，要證平面，只需證明垂直于平面兩條相交直線即可，取的中點，連接，，由題意可得，

再寫出證明的過程即可

（Ⅱ）由題目中的垂直關系建立以為原點，直線，，分別為，，軸

建立空間直角坐標系，寫出需要的點的坐標，再求得平面的一個法向量，易知是平面的一個法向量，求出兩法向量的夾角的余弦值，由于因為二面角為銳角，故二面角的余弦值為．

試題解析：（Ⅰ）證明：在圖2中取的中點，

連接，，

因為，所以，

又因為，

所以，

因為，所以平面，

而平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因為，，

所以，

因為，所以，

所以為等腰直角三角形，且，，

所以，

以為原點，直線，，分別為，，軸

建立空間直角坐標系，則，，，，

所以，，可求得平面的一個法向量為，

易知是平面的一個法向量，

所以，

因為二面角為銳角，故二面角的余弦值為．