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【題目】已知函數.證明：

（1）存在唯一的極值點；

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

（1）先對函數求導，根據導函數的單調性，得到存在唯一，使得，進而可得判斷函數的單調性，即可確定其極值點個數，證明出結論成立；

（2）先由（1）的結果，得到，，得到在內存在唯一實根，記作，再求出，即可結合題意，說明結論成立.

（1）由題意可得，的定義域為，

由，

得，

顯然單調遞增；

又，，

故存在唯一，使得；

又當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；

因此，存在唯一的極值點；

（2）由（1）知，，又，

所以在內存在唯一實根，記作.

由得，

又，

故是方程在內的唯一實根；

綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】關于函數，.有下列命題：

①對,恒有成立.

②,使得成立.

③“若,則有且.”的否命題.

④“若且,則有.”的逆否命題.

其中，真命題有_____________.（只需填序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點，是的中點，點在上，．

（1）證明：平面平面；

（2）證明：平面；

（3）求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，又有四個零點，則實數的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓心為的圓經過點和，且圓心在直線上．

（1）求圓的方程；

（2）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；

（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數為的導函數.

（Ⅰ）求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，證明；

（Ⅲ）設為函數在區(qū)間內的零點，其中，證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：

記為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于”，根據直方圖得到的估計值為.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

交付金額（元）

支付方式

（0,1000]

（1000,2000]

大于2000

僅使用A

18人

9人

3人

僅使用B

10人

14人

1人

（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；

（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．

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