Question

8．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+\frac{11}{3}}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓N的方程為ρ²-6ρsinθ=-8
（1）求圓N的圓心N的極坐標(biāo)；
（2）判斷直線l與圓N的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出圓N的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6y+8=0，從而得到圓心N的直角坐標(biāo)為N（0，3），由此能求出圓心N的極坐標(biāo)．
（2）求出直線l的普通方程為3x+4y-7=0，圓N的圓心N（0，3），半徑r=1，求出圓心N（0，3）到直線l的距離d=r，從而直線l與圓N相切．

解答 解：（1）∵圓N的方程為ρ²-6ρsinθ=-8，
∴圓N的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6y+8=0，
∴圓心N的直角坐標(biāo)為N（0，3），
∴$ρ=\sqrt{{0}^{2}+{3}^{2}}$=3，$θ=\frac{π}{2}$，
∴圓心N的極坐標(biāo)為N（3，$\frac{π}{2}$）．
（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+\frac{11}{3}}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為3x+4y-7=0，
由（1）知，圓N的圓心N（0，3），半徑r=1，
圓心N（0，3）到直線l的距離d=$\frac{|0+12-7|}{\sqrt{9+16}}$=1，
∴直線l與圓N相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓心的極坐標(biāo)求法，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查圓、直線方程、極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．