Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinx•cosx$．
（1）求f（x）的最小正周期以及單調(diào)增區(qū)間；
（2）若$f（x）=\frac{5}{3}$，$-\frac{π}{6}＜x＜\frac{π}{6}$，求sin2x的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為一個三角函數(shù)的形式，進而利用周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由已知可求$sin（{2x+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$，由范圍$-\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求$cos（{2x+\frac{π}{6}}）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，進利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 解：（1）$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$，
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
∵由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$．
（2）∵$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1=\frac{5}{3}$，
∴$sin（{2x+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$，
∵$-\frac{π}{6}＜x＜\frac{π}{6}$，可得：$-\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$cos（{2x+\frac{π}{6}}）＞0$，可得：$cos（{2x+\frac{π}{6}}）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴$sin2x=sin（{2x+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}}）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）cos\frac{π}{6}-cos（{2x+\frac{π}{6}}）sin\frac{π}{6}=\frac{{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{6}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．