Question

19．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如圖E、F分別是BB₁，CD的中點(diǎn)，
（1）求證：D₁F⊥AE；
（2）求直線(xiàn)EF與CB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）依題意分別求得A，E，D₁和F的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{{D}_{1}F}$，二者相乘等于0即可證明出AE⊥D₁F進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明出D₁F⊥AD，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明出D₁F⊥平面ADE．
（2）分別求得$\overrightarrow{EF}$=（2，1，1），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），利用向量的夾角公式求得異面直線(xiàn)所成角的余弦值．

解答 （1）證明：依題意知D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，1，-2），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=0，
∴AE⊥D₁F；
∵AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
∴D₁F⊥AD，
∵AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴D₁F⊥平面ADE．
（2）解：依題意可知B₁（1，1，1），C（0，1，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（2，1，1），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴異面直線(xiàn)EF和CB₁所成的角余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線(xiàn)面垂直和空間向量的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析和運(yùn)算能力．