Question

【題目】已知函數(shù)g(x)＝ (a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).

(1)若函數(shù)g(x)過(guò)點(diǎn)(1，1)，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線(xiàn)方程；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】(1) y＝3x;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）代入點(diǎn)（1，1），求得a=2，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，即可得到切線(xiàn)方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a<0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

試題解析：

(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，則f′(0)＝3，所以所求的切線(xiàn)的斜率為3.又f(0)＝0，所以切點(diǎn)為(0，0)，故所求的切線(xiàn)方程為y＝3x.

(2)因?yàn)?/span>f(x)＝ln(x＋1)＋ (x＞－1)，

所以f′(x)＝＋＝.

①當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)?/span>x＞－1，所以f′(x)＞0，

故f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a＜0時(shí)，由得－1＜x＜－1－a，

故f(x)在(－1，－1－a)上單調(diào)遞減；

由得x＞－1－a，

故f(x)在(－1－a，＋∞)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，－1－a)上單調(diào)遞減，

在(－1－a，＋∞)上單調(diào)遞增.