Question

7．如圖，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE（含端點(diǎn)）上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方，經(jīng)測(cè)量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=$\frac{π}{4}$，記∠EPM=θ（弧度），監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出θ的取值范圍：（參考數(shù)據(jù)：tan$\frac{5}{4}$≈3）
2）求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，tan∠APD=3，即θ=$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$，即可寫(xiě)出θ的取值范圍；
（2）當(dāng)2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{8}$時(shí)，S取得最小值．

解答 解：（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=$\frac{π}{4}$，∠PME=$\frac{3π}{4}-θ$，
由正弦定理可得PM=$\frac{PEsin∠PEM}{sin∠PME}$=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，
同理，在△PNE中，PN=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθ}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}PM•PN•sin∠MPN$=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+sinθcosθ}$=$\frac{8}{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}$，
M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，tan∠APD=3，即θ=$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$，
∴0≤θ≤$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$，
綜上所述，S_△PMN=$\frac{8}{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}$，0≤θ≤$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$；
（2）當(dāng)2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{8}$時(shí)，S取得最小值$\frac{8}{\sqrt{2}+1}$=8（$\sqrt{2}$-1）平方米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．