Question

過點M（-1，0）的直線l₁與拋物線y²=4x交于P₁、P₂兩點，記線段P₁P₂的中點為P，過點P和這個拋物線的焦點F的直線為l₂，l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率與直線l₁的斜率之比可表示為k的函數f（k）=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的應用,拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設直線L₁的方程是y=k（x+1），然后與拋物線方程聯立消去y，得到兩根之和、兩根之積，將直線L₁與該拋物線有兩個交點轉化為△=（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0，進而可得到k的范圍，設點P的坐標為（a，b），可以得到直線L₁、直線L₂的斜率，記f（k）=

a+1

a-1

，再由a=

2-k2

k2

，由此得到f（k）=

1

1-k2

，k∈(-1，0)∪(0，1)．

解答： 解：由已知條件可知，直線L₁的方程是y=k（x+1）①
把①代入拋物線方程y²=4x，
整理后得到k²x²+（2k²-4）x+k²=0②
因此，直線L₁與該拋物線有兩個交點的充要條件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0③
及k≠0．④
解出③與④得到k∈（-1，0）∪（0，1）
現設點P的坐標為（a，b），
則直線L₁的斜率k₁=

b

a+1

，而直線L₂的斜率k₂=

b

a-1

，
∴f（k）=

a+1

a-1

今記L₁與拋物線的兩個交點P₁與P₂的橫坐標分別為x₁和x₂，
由韋達定理及②得x₁+x₂=

4-2k2

k2

（k∈（-1，0）∪（0，1））
∴a=

2-k2

k2

，由此得到f（k）=

1

1-k2

，k∈(-1，0)∪(0，1)，
故答案為：f（x）=

1

1-k2

，k∈(-1，0)∪(0，1)．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重要考點，要著重復習．