Question

已知sinα，cosα是關(guān)于x的一元二次方程x2-

2

3

x+a=0的兩根，其中α∈[0，π]
（1）求α的值．
（2）求cos(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理，sinα+cosα=

2

3

①，sinα•cosα=a②，利用同角平方關(guān)系聯(lián)立①②可求a的值
（2∵（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

16

9

，結(jié)合（1）可知α∈[0，π]，sinα＞0，cosα＜0，從而可得sinα-cosα，又cos(α+

π

4

)=

2

2

(cosα-sinα)，代入可求

解答：解：（1）由韋達定理，sinα+cosα=

2

3

①，sinα•cosα=a②
①式平方，得1+2sinα•cosα=

2

9

∴sinαcosα=-

7

18

＜0③
∴a=-

7

18

（2）∵cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

2

2

(cosα-sinα)(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

16

9

又α∈[0，π]，sinα＞0由③知cosα＜0
∴cosα-sinα=-

4

3

∴cos(α+

π

4

)=

2

2

×(-

4

3

)=-

2 2

3

點評：本題主要考查了利用同角平方關(guān)系建立sinα+cosα，與sinα-cosα，與sinαcosα之間的關(guān)系，考查了兩角和的余弦公式．