Question

13．已知△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，試分別用綜合法和分析法證明：B為銳角．

Answer 1

分析 根據余弦定理和基本不等式，利用分析法和綜合法即可證明．

解答 解：分析法：欲證∠B為銳角，即證cosB＞0，
即證$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$＞0，
即證：a²+c²＞b²，
由于$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
即證a²+c²＞（$\frac{2ac}{a+c}$）²，
即證（a²+c²）（a+c）²＞4a²c²，
考慮到a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac，
所以（a²+c²）（a+c）²≥8a²c²＞4a²c²，
所以∠B為銳角
綜合法：∵$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac，
∴（a²+c²）（a+c）²≥8a²c²＞4a²c²，
∴a²+c²＞（$\frac{2ac}{a+c}$）²，
又∵$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴a²+c²＞b²，
即cosB＞0，
∴∠B為銳角

點評 本題考查了利用綜合法及分析法證明，關鍵是掌握綜合法與分析法的原理、步驟及格式