Question

20．當(dāng)-2≤x＜0時，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-2）
• C． [-6，+∞）
• D． [-6，-2]

Answer 1

分析 依題意，當(dāng)-2≤x＜0時，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，構(gòu)造函數(shù)f（x）=-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$（-2≤x＜0），通過導(dǎo)數(shù)法可求得f（x）_min=f（-1）=-2，從而可得到答案．

解答 解：∵ax³-x²+4x+3≥0，
∴ax³≥x²-4x-3，
又-2≤x＜0，
∴a≤-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$（-2≤x＜0），
則a≤f（x）_min，
∵f′（x）=$\frac{9}{{x}^{4}}$+$\frac{8}{{x}^{3}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$（$\frac{9}{x}$-1）（$\frac{1}{x}$+1），
∵-2≤x＜0，
∴$\frac{9}{x}$-1＜0，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴當(dāng)-2≤x＜-1時，$\frac{1}{x}$+1＞0，f′（x）＜0；
當(dāng)-1＜x＜0時，$\frac{1}{x}$+1＜0，f′（x）＞0；
∴當(dāng)x=-1時，f（x）=-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$取得極小值，也是最小值，即f（x）_min=f（-1）=3-4-1=-2．
∴a≤-2．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造法的綜合運用，求得當(dāng)x=-1時，f（x）=-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$取得最小值-2是解決問題的關(guān)鍵，屬于難題．