Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-n（n∈N*）．正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，且3a₂是b₂，b₃的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1．可得a_n．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=0；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，∴a_n=2n-2．
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則，b₂=q，b₃=q²，3a₂₌₆，
∵3a₂是b₂，b₃的等差中項(xiàng)，∴2×6=q+q²，得q=3或q=-4（舍去），
∴b_n=3^n-1 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=$\frac{2n-2}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2（n-1）}{{3}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和$\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n-1}}$T_n=$\frac{2×0}{{3}^{0}}+\frac{2×1}{{3}^{1}}+\frac{2×2}{{3}^{2}}+…+\frac{2（n-1）}{{3}^{n-1}}$…①．
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{2×0}{{3}^{1}}+\frac{2×1}{{3}^{2}}+…+\frac{2（n-2）}{{3}^{n-1}}+\frac{2（n-1）}{{3}^{n}}$…②
①-②得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2（n-1）}{{3}^{n}}$=2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2（n-1）}{{3}^{n}}$=1-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式的處理，及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．