Question

1．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=2a_n-n+1（n∈N^*），b_n=a_n+1．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的首項(xiàng)，利用通項(xiàng)與和的關(guān)系，推出數(shù)列b_n的等比數(shù)列，求解通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1+1，易得a₁=0，b₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n+1-[2a_n-1-n+1+1]，
整理得a_n=2a_n-1+1，
∴b_n=a_n+1=2（a_n-1+1）=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}構(gòu)成以首項(xiàng)為b₁=1，公比為2等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1，n∈N^•；
（2）由（1）知b_n=2^n-1，則nb_n=n•2^n-1，
則T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，①
∴2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
由①-②得：-T_n=2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n•{2}^{n}$=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．