Question

如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，O₁、O分別為上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若∠A₁AB=60°，求平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連結(jié)AC，BD，AC，由題設(shè)條件得到O為AC，BD的交點，O₁為A₁C₁，B₁D₁的交點．從而得到四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，由此能夠證明平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）由題設(shè)條件推導(dǎo)出Rt△A₁OB≌Rt△A₁OA，從而得到△A₁AB是等邊三角形分別以O(shè)B，OC，OA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，BD，AC，則O為AC，BD的交點，
O₁為A₁C₁，B₁D₁的交點．
由平行六面體的性質(zhì)知：A₁O₁∥OC，且A₁O₁=OC，
∴四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，…（2分）
∴A₁O∥O₁C．
又∵A₁O⊥平面ABCD，∴O₁C⊥平面ABCD，…（4分）
又∵O₁C?平面O₁DC，
∴平面O₁DC⊥平面ABCD．…（6分）
（2）解：∵A₁O⊥平面ABCD，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，
∴Rt△A₁OB≌Rt△A₁OA，∴A₁A=A₁B，
又∠A₁AB=60°，故△A₁AB是等邊三角形．…（7分）
不妨設(shè)AB=a，則在Rt△A₁OA中，
OA=

2

2

a，AA₁=a，OA₁=

2

2

a，
如圖分別以O(shè)B，OC，OA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意得A（0，-

2

2

a，0），B（

2

2

a，0，0），A₁（0，0，

2

2

a），…（8分）
∴

AB

=（

2

2

a，

2

2

a，0），

BA1

=（-

2

2

a，0，

2

2

a）
設(shè)平面ABA₁的法向量為

n1

=（x，y，z）
則由

AB

•

n1

=0，得x+y=0，由

BA1

•

n1

=0，得x-z=0
令x=1得

n1

=（1，-1，1），…（10分）
又∵BD⊥平面ACC₁A₁，∴平面CAA₁的一個法向量為

n2

=（1，0，0）
cosθ=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

3

3

∴平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值為

3

3

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．