Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值，并寫出f（x）取最小值時相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）因?yàn)閤∈[-

π

4

，

π

4

]，所以2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
由2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．    …（7分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]…（9分），
∴-

3

+1≤2sin(2x+

π

6

)+1≤3，…（11分）
∴當(dāng)2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

時，函數(shù)f（x）取得最小值-

3

+1．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．