Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9≤x≤11）時(shí)，一年的銷售量為（12-x）²萬件．
（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）．
本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，乘以價(jià)格得到利潤(rùn)L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a得范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，分類討論原函數(shù)在[9，11]上的單調(diào)性，并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤(rùn)函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為：x-3-a元，
分公司一年的利潤(rùn)L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：
L=（x-3-a）（12-x）²，x∈[9，11]；
（2）L′（x）=（12-x）²-2（x-3-a）（12-x）
=（12-x）（18+2a-3x）．
令L′（x）=0，得x=6+

2

3

a或x=12（不合題意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+

2

3

a≤

28

3

．
在x=6+

2

3

a左右兩側(cè)，L′（x）的值由正變負(fù)．
∴當(dāng)8≤6+

2

3

a＜9，即3≤a＜

9

2

時(shí)，
Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)．
當(dāng)9≤6+

2

3

a≤

28

3

，即

9

2

≤a≤5時(shí)，
Lmax=L(6+

2

3

a)=(6+

2

3

a-3-a)[12-(6+

2

3

a)]2=4(3-

1

3

a)3，
∴Q(a)=

9(6-a)，3≤a＜ 9 2 4(3- 1 3 a)3， 9 2 ≤a≤5

．
答：若3≤a＜

9

2

，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬元）；若

9

2

≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為(6+

2

3

a)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)=4(3-

1

3

a)3（萬元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，是中檔題．