Question

已知不等式組

x-y-1≤0 x+y-2≥0 x＞0

，求：
（1）z=x²+y²的最小值；
（2）u=

y

x

的取值范圍；
（3）u=|2x+y+1|的最小值；
（4）m=x-y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域．
（1）由原點(diǎn)到直線x+y-2=0的距離的平方得答案；
（2）由兩點(diǎn)求斜率求得u=

y

x

的取值范圍；
（3）令t=2x+y+1，求出其最小值且為正值，則u=|2x+y+1|的最小值可求；
（4）直接數(shù)形結(jié)合求m=x-y的最大值．

解答： 解：由約束條件作出可行域如圖，

（1）由圖可知，z=x²+y²的最小值為O到直線x+y-2=0的距離的平方，等于(

|-2|

2

)2=2；
（2）由u=

y

x

-

y-0

x-0

，而kOA=

1 2

3 2

=

1

3

，∴u=

y

x

的取值范圍是[

1

3

，+∞)；
（3）令t=2x+y+1，則y=-2x+t-1，由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+t-1過(guò)點(diǎn)B（0，2）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，t最小等于3，∴u=|2x+y+1|的最小值為3；
（4）由m=x-y，得y=x-m，當(dāng)該直線與y=x-1重合時(shí)，直線在y軸上的截距最小，m有最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．