Question

（2012•奉賢區(qū)二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大；
（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-MNC的體積．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，求出直線PN與平面ABC所成的角，即可求得結(jié)論．
（2）求出點(diǎn)P到平面B₁BCC₁的距離，S_△CMN，即可求得三棱錐P-MNC的體積．

解答：解：（1）如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則P（λ，0，1），

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)平面ABC的一個(gè)法向量為

n

=（0，0，1）
∴sinθ=|

PN • n

| PN || n |

|=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

∴當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，（sinθ）_max=

2 5

5

，此時(shí)角θ最大為arcsin

2 5

5

；
（2）平面B₁BCC₁的法向量

m

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴點(diǎn)P到平面B₁BCC₁的距離d=

| PN • m |

| m |

=

2

4

∵S_△CMN=

1

2

×

2

2

×

1

2

=

2

8

∴V_P-CMN=

1

3

×

2

8

×

2

4

=

1

48

．

點(diǎn)評(píng)：利用向量知識(shí)解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標(biāo)表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式