Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，其中a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

1-bn

2

（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：Tn≥

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由二次方程可求得a₃，a₅，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得a_n，由b_n=S_n-S_n-1可得數(shù)列遞推式，可判斷{b_n}為等比數(shù)列，從而可求；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法可求得T_n，通過(guò)作差可判斷{T_n}為遞增數(shù)列，從而可得T_n≥T₁，得到結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且數(shù)列{a_n}的公差d＞0，
解得a₃=5，a₅=9，則公差d=

a5-a3

5-3

=2．
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，有b₁=S₁=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，有b_n=S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴3b_n=b_n-1，
∵b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）．
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴bn=b1•qn-1=

1

3n

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
∴T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，①

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2×

1 9 ×[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Tn=1-

n+1

3n

，
∵Tn+1-Tn=-

n+2

3n+1

+

n+1

3n

=

2n+1

3n+1

＞0，
∴{T_n}為遞增數(shù)列，
∴Tn≥T1=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，考查方程思想，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．