Question

5．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且${a_1}=1，{a_{n+1}}+{a_n}={2^{n+1}}（n∈{N^*}）$
（Ⅰ）求證：$\left\{{{a_n}-\frac{{{2^{n+1}}}}{3}}\right\}$是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=3na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{{a}_{n+1}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-{a}_{n}+\frac{{2}^{n+1}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=-1．由${a}_{1}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，能證明{${a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}$}是等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=3na_n=n•2^n-1+（-1）ⁿ•n，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 證明：（Ⅰ）∵S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且${a_1}=1，{a_{n+1}}+{a_n}={2^{n+1}}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{{2}^{n+1}-{a}_{n}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-{a}_{n}+\frac{{2}^{n+1}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=-1．
由${a}_{1}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，得{${a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}$}是首項為-$\frac{1}{3}$，公比為-1的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}$=-$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ，
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}}{3}+\frac{1}{3}（-1）^{n}$．
解：（Ⅱ）b_n=3na_n=n•2^n-1+（-1）ⁿ•n，
取{n•2^n-1}前n項和A_n，{（-1）ⁿ•n}前n項和B_n，
則${A}_{n}=1•{2}^{2}+2•{2}^{3}+3•{2}^{4}+…+n•{2}^{n+1}$，
2A_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
則-A_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+2}$，
∴${A}_{n}=4+（n-1）•{2}^{n+2}$，
當n是奇數(shù)時，B_n=（-1）+2+（-3）+4+（-5）+…+（-n）=-$\frac{n+1}{2}$，
當n是偶數(shù)時，B_n=（-1）+2+（-3）+4+（-5）+$…+（-n）=\frac{n}{2}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4+（n-1）•{2}^{n+2}-\frac{n+1}{2}，n是奇數(shù)}\\{46（n-1）•{2}^{n+2}+\frac{n}{2}，n是偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法和錯位相減法的合理運用．