Question

8．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)過為F，過F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l被E截得的線段長為8．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過F，且圓C與直線x=$\frac{1}{2}$相交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，再由拋物線的焦點(diǎn)弦長公式列式求得p，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）寫出圓C的方程，取x=-$\frac{1}{2}$可得關(guān)于y的方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B的縱坐標(biāo)的和與積，代入|FA|•|FB|整理得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意，直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y整理得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
設(shè)直線l與拋物線E的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則x₁+x₂=3p，
故直線l被拋物線E截得的線段長為x₁+x₂+p=4p=8，得p=2，
∴拋物線E的方程為y²=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)（1，0），設(shè)C（x₀，y₀），則圓C的方程是$（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}=（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，
令x=-$\frac{1}{2}$，則${y}^{2}-2{y}_{0}y+3{x}_{0}-\frac{3}{4}=0$，又${{y}_{0}}^{2}=4{x}_{0}$，
△=$4{{y}_{0}}^{2}-12{x}_{0}+3=4{x}_{0}+3$=${{y}_{0}}^{2}+3$＞0恒成立，
設(shè)A（$-\frac{1}{2}，{y}_{3}$），B（$-\frac{1}{2}$，y₄），則y₃+y₄=2y₀，${y}_{3}{y}_{4}=3{x}_{0}-\frac{3}{4}$，
∴|FA|•|FB|=$\sqrt{{{y}_{3}}^{2}+\frac{9}{4}}•\sqrt{{{y}_{4}}^{2}+\frac{9}{4}}$=$\sqrt{（{y}_{3}{y}_{4}）^{2}+\frac{9}{4}（{{y}_{3}}^{2}+{{y}_{4}}^{2}）+\frac{81}{16}}$
=$\sqrt{（3{x}_{0}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{9}{4}[4{{y}_{0}}^{2}-2（3{x}_{0}-\frac{3}{4}）]+\frac{81}{16}}$=$\sqrt{9{{x}_{0}}^{2}+18{x}_{0}+9}=3|{x}_{0}+1|$，
∵x₀≥0，∴|FA|•|FB|∈[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓、拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，考查計(jì)算能力，屬中檔題．