Question

18．已知實數(shù)a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=a•4^x-2^x+1．
（1）已知a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）如果函數(shù)y=f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點，求實數(shù)a的范圍；
（3）若函數(shù)f（x）是減函數(shù)，求證：a≤0．

Answer 1

分析 （1）將a代入，對函數(shù)配方，利用二次函數(shù)求值域；
（2）換元，設(shè)2^x=t，t∈（1，2），則f（t）有唯一零點，利用零點存在定理得到f（1）f（2）＜0即求；
（3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到f（t）=at²-t+1，（t＞0）為減函數(shù)，對a進行討論得到a的范圍．

解答 解：實數(shù)a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=a•4^x-2^x+1．
（1）a=$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$•4^x-2^x+1=$\frac{1}{2}（{2}^{x}-1）^{2}+\frac{1}{2}$，所以其值域為[$\frac{1}{2}，+∞$）；
（2）如果函數(shù)y=f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點，設(shè)2^x=t，t∈（1，2），則f（t）有唯一零點，所以f（1）f（2）＜0即a（4a-1）＜0解得0＜a＜$\frac{1}{4}$；
（3）證明：若函數(shù)f（x）是減函數(shù)，則f（t）=at²-t+1，（t＞0）為減函數(shù)，a=0，f（t）=-t+1為減函數(shù)，滿足題意；a＞0，二次函數(shù)開口向上，不滿足題意；a＜0，對稱軸小于0，滿足題意；綜上a≤0．

點評 本題考查了函數(shù)的值域、零點以及單調(diào)性；利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是解答的關(guān)鍵．