已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,O為SC的中點(diǎn),且SC=6,AB=2,∠ASC=∠BSC=30°,則此棱錐的體積為(  )
A、
10
3
7
B、
2
3
9
C、
23
2
D、
23
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專(zhuān)題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:設(shè)球心為點(diǎn)O,作AB中點(diǎn)D,連接OD,CD,說(shuō)明SC是球的直徑,利用余弦定理,三角形的面積公式求出S△SCD,和棱錐的高AB,即可求出棱錐的體積.
解答: 解:作AB中點(diǎn)D,連接OD,CD
因?yàn)榫€段SC是球的直徑,
所以它也是大圓的直徑,則易得:∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中,SC=6,∠ASC=30° 得:AC=3,SA=3
3

又在Rt△SBC中,SC=6,∠BSC=30° 得:BC=3,SB=3
3

則:SA=SB,AC=BC
因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),
所以在等腰三角形ASB中,SD⊥AB且SD=
SA2-AD2
=
26

在等腰三角形CAB中,CD⊥AB且CD=
AC2-AD2
=2
2

又SD交CD于點(diǎn)D
所以:AB⊥平面SCD
所以棱錐S-ABC的體積:V=
1
3
AB•S△SCD,
因?yàn)椋篠D=
26
,CD=2
2
,SC=6
所以由余弦定理得:cos∠SDC=
26+8-36
26
×2
2
=-
1
4
13

則:sin∠SDC=
207
4
13

由三角形面積公式得△SCD的面積S=
1
2
SD•CD•sin∠SDC=
1
2
×
26
×2
2
×
207
4
13
=
3
23
2

所以:棱錐S-ABC的體積:V=
1
3
AB•S△SCD=
1
3
×2×
3
23
2
=
23

故選D.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查球的內(nèi)接棱錐的體積的求法,考查空間想象能力,計(jì)算能力,有難度的題目,�?碱}型.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),N點(diǎn)分AC的比為AN:NC=1:2,BN與CM相交于E,設(shè)
AB
=
a
,
AC
=
b
,則向量
AE
=( �。�
A、
1
3
a
+
1
2
b
B、
1
2
a
+
2
3
b
C、
2
5
a
+
1
5
b
D、
3
5
a
+
4
5
b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下面使用類(lèi)比推理正確的是(  )
A、“若a•3=b•3,則a=b”類(lèi)比推出“若a•0=b•0,則a=b”
B、“l(fā)oga(xy)=logax+logay”類(lèi)比推出“sin(α+β)=sinαsinβ”
C、“(a+b)c=ac+bc”類(lèi)比推出“(
a
+
b
)•
c
=
a
c
+
b
c
D、“(ab)n=anbn”類(lèi)比推出“(a+b)n=an+bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列關(guān)系式:①a?{a,b};②a∈{a,b};③∅∈{a,b};④∅⊆{a};⑤{a}⊆{a,b};⑥{a}⊆{a}其中正確的是( �。�
A、①②④⑤B、②③④⑤
C、②④⑤D、②④⑤⑥

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若冪函數(shù)y=(m2+3m-9)xm2-5的圖象不過(guò)原點(diǎn),則求m的值( �。�
A、2B、-5C、2或-5D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將正偶數(shù)按下表排成4列:

則2000在( �。�
A、第125行,第1列
B、第125行,第2列
C、第250行,第1列
D、第250行,第4列

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若α角的終邊落在第三或第四象限,則
α
2
的終邊落在( �。�
A、第一或第三象限
B、第二或第四象限
C、第一或第四象限
D、第三或第四象限

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)
x
+8
,求函數(shù)f(x)的定義域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.
(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)若函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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