Question

若函數(shù)f(x)＝ax³－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－.

(1)求函數(shù)的解析式．

(2)若方程f(x)＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)＝x³－4x＋4.(2)－<k<.

【解析】

試題分析：f′(x)＝3ax²－b.

(1)由題意得解得

故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x³－4x＋4.

(2)由(1)可得f′(x)＝x²－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?		?	－

因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極大值，

當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值－，

所以函數(shù)f(x)＝x³－4x＋4的圖象大致如圖所示．

若f(x)＝k有3個(gè)不同的根，則直線y＝k與函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以－<k<.

考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的解析式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值。

點(diǎn)評：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題（II）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，對函數(shù)的圖象有了充分的了解，明確了函數(shù)零點(diǎn)情況。