Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，(an-2)2=8Sn-1(n≥2)，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

4n-2

．

Answer 1

分析：已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，(an-2)2=8Sn-1(n≥2)，根據(jù)遞推式，求出a2，a3，猜想出通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，從而求解；

解答：解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，(an-2)2=8Sn-1(n≥2)，（a_n＞0，n≥2）
當(dāng)n=2時(shí)，（a₂-2）²=8s₁，s₁=a₁，
∴a₂=6，
當(dāng)n=3時(shí)，（a₃-2）²=8s₂，s₂=a₁+a₂，
∴a₃=10，可以推測(cè)其為等差數(shù)列；
猜想a_n=4n-2，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=6，滿足；
假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)也成立，則有a_k=4k-2，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，∵（a_k-2）²=8s_k-1…①，
∴（a_k+1-2）²=8s_k…②，
②-①得，（a_k+1-a_k）（a_k+1+a_k-4）=8a_k，
∴（a_k+1-4k-2）（a_k+1+4k-2-4）=8（4k-2），
∴a_k+1=4k+2=4（k+1）-2，當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立；
根據(jù)歸納法可知：{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2，
故答案為4n-2；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，此題難度比較大，是一道中檔題；