【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn),橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,其中與的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)與的長軸垂直的直線交于,兩點(diǎn),且,曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓.
(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)直線與相切,且與交于,兩點(diǎn),求的面積的取值范圍.
【答案】(1) 的標(biāo)準(zhǔn)方程為.的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)
【解析】
(1)先由已知設(shè)拋物線的方程為,根據(jù)拋物線過點(diǎn),即可求出拋物線方程,得出坐標(biāo),再由題意可得,進(jìn)而可求出橢圓方程;又曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,根據(jù)坐標(biāo)坐標(biāo)得出的值,即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)先由直線與相切,得圓心到直線的距離為1,因此,根據(jù)題意分類討論:當(dāng)直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況,結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式,分別求出的范圍即可.
解:(1)由已知設(shè)拋物線的方程為,
則,解得,即的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
則,不妨設(shè)橢圓的方程為,
由,得,所以,
又,所以,,
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
易知,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)因?yàn)橹本與相切,所以圓心到直線的距離為1.所以.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),其方程為,易知兩種情況所得到的的面積相等.
由,得.
不妨設(shè),,則,
此時(shí).
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,
則,即.
由,得,
所以 恒成立.
設(shè),,
則,.
所以.
令,則,
所以
,
令,則,
易知區(qū)間上單調(diào)遞減,所以.
綜上,的面積的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示:全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學(xué)校高中男生中隨機(jī)抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于160cm和190cm之間,將身高的測量結(jié)果按如下方式分成5組:第1組[160,166),第2組[166,172),...,第5組[184,190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表:
分組 | [160,166) | [166,172) | [172,178) | [178,184) | [184,190] |
人數(shù) | 3 | 10 | 24 | 10 | 3 |
這50個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別比10萬個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差多1和6.68,且這50個(gè)數(shù)據(jù)的方差為.(同組中的身高數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表):
(1)求,;
(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù):,.
(i)若從這10萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,求該學(xué)生身高在(169,179)的概率;
(ii)若從這10萬名學(xué)生中隨機(jī)抽取1萬名,記為這1萬名學(xué)生中身高在(169,184)的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,其中是常數(shù).
(1)求的解析式;
(2)求實(shí)數(shù)的值,使得函數(shù),的最小值為;
(3)已知函數(shù)滿足:對(duì)任何不小于的實(shí)數(shù),都有,其中為不小于的正整數(shù)常數(shù),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,設(shè):實(shí)數(shù)滿足 ,:實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和.
(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(III)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形, 面, 為的中點(diǎn)。
(1)證明: 平面;
(2)設(shè), ,三棱錐的體積 ,求A到平面PBC的距離。
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