Question

1．已知隨圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與過原點的直線交于A、B兩點，右焦點為F，∠AFB=120°，若△AFB的面積為4$\sqrt{3}$，則橢圓E的焦距的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． [2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [4$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 利用三角形的面積公式和橢圓的性質(zhì)得出a≥4，再根據(jù)三角形的面積公式得出當A與短軸端點重合時，c取得最小值，利用橢圓的性質(zhì)求出2c的最小值即可．

解答 解：取橢圓的左焦點F₁，連接AF₁，BF₁，
則AB與FF₁互相平分，
∴四邊形AFBF₁是平行四邊形，
∴AF₁=BF，
∵AF+AF₁=2a，∴AF+BF=2a，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BF•sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AF•BF=4$\sqrt{3}$，
∴AF•BF=16，
∵2a=AF+BF≥2$\sqrt{AF•BF}$=8，∴a≥4，
又S_△ABF=$\frac{1}{2}×c×2|{y}_{A}|$=c•|y_A|=4$\sqrt{3}$，
∴c=$\frac{4\sqrt{3}}{|{y}_{A}|}$，
∴當|y_A|=b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$時，c取得最小值，此時b=$\sqrt{3}$c，
∴a²=3c²+c²=4c²，∴2c=a，
∴2c≥4．
故選B．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．