Question

20．已知a，b∈R，矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&\\{1}&{4}\end{array}]$，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，屬于特征值5的一個特征向量為α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

Answer 1

分析 由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，求出3a-b=3，由矩陣A屬于特征值5的一個特征向量為α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，求出a+b=5，由此能求出矩陣A，進(jìn)而能求出A的逆矩陣．

解答 [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
解：由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₁=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，
得：$[\begin{array}{l}{a}&\\{1}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$，
∴3a-b=3，
由矩陣A屬于特征值5的一個特征向量為α₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
得：$[\begin{array}{l}{a}&\\{1}&{4}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]=5[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
∴a+b=5，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，即A=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{array}]$．
∵$[\begin{array}{l}{2}&{3}&{\;}&{1}&{0}\\{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\\{2}&{3}&{\;}&{1}&{0}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\\{0}&{-5}&{\;}&{1}&{-2}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{4}&{\;}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{\;}&{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{\frac{4}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{0}&{1}&{\;}&{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}]$．
∴A的逆矩陣A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{4}{5}}&{-\frac{3}{5}}\\{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}]$．

點評 本題考查矩陣的求法，考查矩陣的逆矩陣的求法，考查矩陣的特征向量、初等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．