Question

11．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為2π，最小值為-2，且當x=$\frac{5π}{6}$時，函數(shù)取得最大值4．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時，方程f（x）=m+1有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)函數(shù)f（x）的最小正周期求出ω的值，
再求出A、B、φ的值，即可寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）把方程化為m=3sin（x-$\frac{π}{3}$），求出x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時3sin（x-$\frac{π}{3}$）的取值范圍即可．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為
T=$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1；
又 $\left\{\begin{array}{l}{B+A=4}\\{B-A=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{A=3}\\{B=1}\end{array}\right.$；
由題意，$\frac{5π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即 φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）=3sin（x-$\frac{π}{3}$）+1；
（Ⅱ）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
即x∈[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，k∈Z時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化為m=3sin（x-$\frac{π}{3}$），
因為x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，所以x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由正弦函數(shù)圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，3]．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了方程與函數(shù)的應用問題，是綜合題．