(2013•連云港一模)已知數(shù)列{an}中,a2=a(a為非零常數(shù)),其前n項和Sn滿足:Sn=
n(an-a1)
2
(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a=2,且
1
4
am2-Sn=11,求m、n的值;
(3)是否存在實數(shù)a、b,使得對任意正整數(shù)p,數(shù)列{an}中滿足an+b≤p的最大項恰為第3p-2項?若存在,分別求出a與b的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用數(shù)列的項與前n項和的關系,將條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項之間的關系,判定數(shù)列為特征數(shù)列,再求通項公式;
(2)利用(1)的結(jié)論,求出m、n滿足的關系,分析求解即可;
(3)根據(jù)條件an+b≤p求出n滿足的條件,再根據(jù)滿足an+b≤p的最大項始終為3P-2,轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題,分析求解即可.
解答:解:(1)由已知,得a1=S1=
(a1-a1)
2
=0,∴Sn=
nan
2
,
則有Sn+1=
(n+1)an+1
2
,
∴2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan  n∈N*,
∴nan+2=(n+1)an+1,
兩式相減得,2an+1=an+2+an   n∈N*,
即an+1-an+1=an+1-an    n∈N*,
故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
又a1=0,a2=a,∴an=(n-1)a.
(2)若a=2,則an=2(n-1),∴Sn=n(n-1).
1
4
a
2
m
-Sn=11
,得n2-n+11=(m-1)2,即4(m-1)2-(2n-1)2=43,
∴(2m+2n-3)(2m-2n-1)=43.
∵43是質(zhì)數(shù),2m+2n-3>2m-2n-1,2m+2n-3>0,
2m-2n-1=1
2m+2n-3=43
,解得m=12,n=11.
(3)由an+b≤p,得a(n-1)+b≤p.
若a<0,則n≥
p-b
a
+1,不合題意,舍去;     
若a>0,則n≤
p-b
a
+1.∵不等式an+b≤p成立的最大正整數(shù)解為3p-2,
∴3p-2≤
p-b
a
+1<3p-1,
即2a-b<(3a-1)p≤3a-b,對任意正整數(shù)p都成立.
∴3a-1=0,解得a=
1
3

此時,
2
3
-b<0≤1-b,解得
2
3
<b≤1.
故存在實數(shù)a、b滿足條件,a與b的取值范圍是a=
1
3
,
2
3
<b≤1.
點評:本題考查了等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列的項與前n項和之間的關系及數(shù)列的綜合問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•連云港一模)二維空間中圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,觀察發(fā)現(xiàn)S′=l;三維空間中球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=
43
πr3,觀察發(fā)現(xiàn)V′=S.則四維空間中“超球”的三維測度V=8πr3,猜想其四維測度W=
2πr4
2πr4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•連云港一模)某單位有職工52人,現(xiàn)將所有職工按l、2、3、…、52隨機編號,若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本,已知6號、32號、45號職工在樣本中,則樣本中還有一個職工的編號是
19號
19號

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•連云港一模)等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y2=4x的準線交于A、B兩點,AB=
3
,則C的實軸長為
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•連云港一模)設集合A={1,2,3},B={2,4,6},則A∩B=
{2}
{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•連云港一模)已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足(1-i)z=2,則z=
1+i
1+i

查看答案和解析>>

同步練習冊答案