Question

20．已知命題p：若存在正數(shù)x∈（2，+∞）使2^x（x-a）＜1成立，命題q：函數(shù)y=lg（x²+2ax+a）值域為R，如果p∧q是假命題，p∨q真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真命題的等價條件，然后利用“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，確定實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當p為真時，由題意可得，a＞x-（$\frac{1}{2}$）^x（x≥2）．
令f（x）=x-（$\frac{1}{2}$）^x，該函數(shù)在[2，+∞）上為增函數(shù)，可知f（x）的值域為[$\frac{7}{4}$，+∞），故a＞$\frac{7}{4}$時，存在正數(shù)x使原不等式成立，
當q為真時，應有4a2-4a≥0，
∴a≥1或a≤0，
由p∧q是假命題，p∨q真命題知p，q一真一假
當p為真q為假時，應有$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{7}{4}}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，此時無解，
當p為假q為真時，應有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{7}{4}}\\{a≤0或a≥1}\end{array}\right.$解得a≤0或1≤a≤$\frac{7}{4}$，
綜上a≤0或1≤a≤$\frac{7}{4}$

點評 本題主要考查復合命題的真假判斷以及應用，比較基礎．