Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)，0＜φ＜π），曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直線(xiàn)l的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 消去參數(shù)可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

即直線(xiàn)l的普通方程為xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ．

那么：x2=8y．

∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2=8y

（2）解：直線(xiàn)l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標(biāo)方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，

則 ， ．

∴|AB|=|t1﹣t2|= = ．

當(dāng)φ= 時(shí)，|AB|取得最小值為8

【解析】（1）直接消去直線(xiàn)l的參數(shù)可得普通方程；根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 進(jìn)行代換即得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程．（2）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)出A，B兩點(diǎn)的參數(shù)，利用韋達(dá)定理建立關(guān)系求解最值即可．